Ako fungujú klasifikátory Naive Bayes - s príkladmi kódu Python

Naive Bayes Classifiers (NBC) sú jednoduché, ale výkonné algoritmy strojového učenia. Sú založené na podmienenej pravdepodobnosti a Bayesovej vete.

V tomto príspevku vysvetľujem „trik“, ktorý stojí za NBC, a uvediem príklad, ktorý môžeme použiť na vyriešenie problému s klasifikáciou.

V ďalších častiach budem hovoriť o matematike za NBC. Pokojne tieto časti preskočte a prejdite na implementačnú časť, ak vás matematika nezaujíma.

V implementačnej časti vám ukážem jednoduchý algoritmus NBC. Potom ho použijeme na vyriešenie problému s klasifikáciou. Úlohou bude zistiť, či istý cestujúci na Titanicu nehodu prežil alebo nie.

Podmienená pravdepodobnosť

Predtým, ako hovoríme o samotnom algoritme, povedzme si niečo o jednoduchej matematike. Musíme pochopiť, čo je podmienená pravdepodobnosť a ako ju môžeme na výpočet vypočítať pomocou Bayesovej vety.

Pomysli na spravodlivú matricu so šiestimi stranami. Aká je pravdepodobnosť získania šestky pri rolovaní matrice? To je ľahké, je to 1/6. Máme šesť možných a rovnako pravdepodobných výsledkov, ale zaujíma nás iba jeden z nich. Takže 1/6 to je.

Čo sa však stane, ak vám poviem, že som už kostku hodil a výsledkom je párne číslo? Aká je pravdepodobnosť, že teraz máme šestku?

Tentokrát sú možné výsledky iba tri, pretože na matrici sú iba tri párne čísla. Stále nás zaujíma iba jeden z týchto výsledkov, takže teraz je pravdepodobnosť väčšia: 1/3. Aký je rozdiel medzi oboma prípadmi?

V prvom prípade sme nemali žiadne predbežné informácie o výsledku. Preto sme museli zvážiť každý možný výsledok.

V druhom prípade nám bolo povedané, že výsledkom bolo párne číslo, takže sme mohli zmenšiť priestor možných výsledkov iba na tri párne čísla, ktoré sa vyskytujú v bežnej šesťstrannej matrici.

Všeobecne platí, že pri výpočte pravdepodobnosti udalosti A, vzhľadom na výskyt inej udalosti B, hovoríme, že počítame podmienenú pravdepodobnosť A daného B, alebo len pravdepodobnosť A daného B. Označíme to P(A|B).

Napríklad pravdepodobnosť získania šesť daný že počet máme ešte: P(Six|Even) = 1/3. Tu sme označili ako Šesť udalosť získania šestky a S ešte udalosť získania párneho čísla.

Ako však vypočítame podmienené pravdepodobnosti? Existuje vzorec?

Ako vypočítať podmienené proby a Bayesovu vetu

Teraz vám dám pár vzorcov na výpočet podmienených prob. Sľubujem, že nebudú ťažké a sú dôležité, ak chcete porozumieť poznatkom algoritmov strojového učenia, o ktorých si ešte povieme.

Pravdepodobnosť udalosti A vzhľadom na výskyt inej udalosti B možno vypočítať takto:

P(A|B) = P(A,B)/P(B) 

Kde P(A,B)označuje pravdepodobnosť výskytu A aj B v rovnakom čase a P(B)označuje pravdepodobnosť B.

Všimnite si, že to potrebujeme, P(B) > 0pretože nemá zmysel hovoriť o pravdepodobnosti A daného B, ak výskyt B nie je možný.

Môžeme tiež vypočítať pravdepodobnosť udalosti A, vzhľadom na výskyt viacerých udalostí B1, B2, ..., Bn:

P(A|B1,B2,...,Bn) = P(A,B1,B2,...,Bn)/P(B1,B2,...,Bn) 

Existuje iný spôsob výpočtu podmienených sond. Týmto spôsobom je takzvaná Bayesova veta.

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) P(A|B1,B2,...,Bn) = P(B1,B2,...,Bn|A)P(A)/P(B1,B2,...,Bn) 

Všimnite si, že vypočítavame pravdepodobnosť udalosti A vzhľadom na udalosť B obrátením poradia výskytu udalostí.

Teraz predpokladáme, že došlo k udalosti A a chceme vypočítať pravdepodobnosť udalosti B (alebo udalostí B1, B2, ..., Bn v druhom a všeobecnejšom príklade).

Dôležitým faktom, ktorý je možné odvodiť z tejto vety, je vzorec na výpočet P(B1,B2,...,Bn,A). Tomu sa hovorí reťazové pravidlo pre pravdepodobnosti.

P(B1,B2,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2,B3,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)P(B3, B4, ..., Bn, A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)...P(Bn | A)P(A) 

To je škaredý vzorec, nie? Ale za určitých podmienok môžeme urobiť riešenie a vyhnúť sa mu.

Hovorme o poslednom koncepte, ktorý potrebujeme vedieť, aby sme porozumeli algoritmom.

Nezávislosť

Posledným konceptom, o ktorom si povieme, je nezávislosť. Hovoríme, že udalosti A a B sú nezávislé, ak

P(A|B) = P(A) 

To znamená, že pravdepodobnosť udalosti A nie je ovplyvnená výskytom udalosti B. Priamym dôsledkom je to P(A,B) = P(A)P(B).

V jednoduchej angličtine to znamená, že pravdepodobnosť výskytu A aj B súčasne sa rovná súčinu pravdepodobností udalostí A a B vyskytujúcich sa osobitne.

Ak sú A a B nezávislé, platí tiež, že:

P(A,B|C) = P(A|C)P(B|C) 

Teraz sme pripravení hovoriť o klasifikátoroch Naive Bayes!

Naivný Bayesov klasifikátor

Predpokladajme, že máme vektor X a n funkcií a chceme určiť triedu tohto vektora zo sady K tried y1, y2, ..., yk . Napríklad, ak chceme zistiť, či dnes bude pršať alebo nie.

Máme dve možné triedy ( k = 2 ): dážď , nie dážď , a dĺžka vektora prvkov môže byť 3 ( n = 3 ).

Prvým znakom môže byť, či je zamračené alebo slnečno, druhým znakom môže byť vysoká alebo nízka vlhkosť vzduchu a tretím znakom môže byť vysoká, stredná alebo nízka teplota.

Mohli by to byť možné vektory znakov.

Našou úlohou je určiť, či bude pršať alebo nie, vzhľadom na poveternostné podmienky.

Keď sa dozviete o podmienených pravdepodobnostiach, zdá sa byť prirodzené pristupovať k problému tak, že sa pokúsime vypočítať pravdepodobnosť dažďa vzhľadom na tieto vlastnosti:

R = P(Rain | Cloudy, H_High, T_Low) NR = P(NotRain | Cloudy, H_High, T_Low) 

Ak R > NRodpovieme, že bude pršať, inak hovoríme, že nebude.

Všeobecne platí, že ak máme k tried y1, y2, ..., yk a vektor n funkcií X = , chceme nájsť triedu yi, ktorá maximalizuje

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn, yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Všimnite si, že menovateľ je konštantný a nezávisí to od triedy yi . Môžeme to teda ignorovať a sústrediť sa iba na čitateľa.

V predchádzajúcej časti sme videli, ako vypočítať P(X1, X2,..., Xn, yi)jeho rozklad na produkt podmienených pravdepodobností (škaredý vzorec):

P(X1, X2,..., Xn, yi) = P(X1 | X2,..., Xn, yi)P(X2 | X3,..., Xn, yi)...P(Xn | yi)P(yi) 

Za predpokladu, že všetky funkcie Xi sú nezávislé a pomocou Bayesovej vety, môžeme podmienenú pravdepodobnosť vypočítať takto:

P(yi | X1, X2,..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

A treba sa sústrediť iba na čitateľa.

Nájdením triedy yi, ktorá maximalizuje predchádzajúci výraz, klasifikujeme vstupný vektor. Ako však môžeme získať všetky tieto pravdepodobnosti?

Ako vypočítať pravdepodobnosti

Pri riešení tohto druhu problémov musíme mať súbor predtým klasifikovaných príkladov.

For instance, in the problem of guessing whether it'll rain or not, we need to have several examples of feature vectors and their classifications that they would be obtained from past weather forecasts.

So, we would have something like this:

...  -> Rain  -> Not Rain  -> Not Rain ... 

Suppose we need to classify a new vector . We need to calculate:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain)P(H_Low | T_Low, Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

We get the previous expression by applying the definition of conditional probability and the chain rule. Remember we only need to focus on the numerator so we can drop the denominator.

We also need to calculate the prob for NotRain, but we can do this in a similar way.

We can find P(Rain) = # Rain/Total. That means counting the entries in the dataset that are classified with Rain and dividing that number by the size of the dataset.

To calculate P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain) we need to count all the entries that have the features H_Low, T_Low and Cloudy. Those entries also need to be classified as Rain. Then, that number is divided by the total amount of data. We calculate the rest of the factors of the formula in a similar fashion.

Making those computations for every possible class is very expensive and slow. So we need to make assumptions about the problem that simplify the calculations.

Naive Bayes Classifiers assume that all the features are independent from each other. So we can rewrite our formula applying Bayes's Theorem and assuming independence between every pair of features:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | Rain)P(H_Low | Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

Now we calculate P(Cloudy | Rain) counting the number of entries that are classified as Rain and were Cloudy.

The algorithm is called Naive because of this independence assumption. There are dependencies between the features most of the time. We can't say that in real life there isn't a dependency between the humidity and the temperature, for example. Naive Bayes Classifiers are also called Independence Bayes, or Simple Bayes.

The general formula would be:

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Remember you can get rid of the denominator. We only calculate the numerator and answer the class that maximizes it.

Now, let's implement our NBC and let's use it in a problem.

Let's code!

I will show you an implementation of a simple NBC and then we'll see it in practice.

The problem we are going to solve is determining whether a passenger on the Titanic survived or not, given some features like their gender and their age.

Here you can see the implementation of a very simple NBC:

class NaiveBayesClassifier: def __init__(self, X, y): ''' X and y denotes the features and the target labels respectively ''' self.X, self.y = X, y self.N = len(self.X) # Length of the training set self.dim = len(self.X[0]) # Dimension of the vector of features self.attrs = [[] for _ in range(self.dim)] # Here we'll store the columns of the training set self.output_dom = {} # Output classes with the number of ocurrences in the training set. In this case we have only 2 classes self.data = [] # To store every row [Xi, yi] for i in range(len(self.X)): for j in range(self.dim): # if we have never seen this value for this attr before, # then we add it to the attrs array in the corresponding position if not self.X[i][j] in self.attrs[j]: self.attrs[j].append(self.X[i][j]) # if we have never seen this output class before, # then we add it to the output_dom and count one occurrence for now if not self.y[i] in self.output_dom.keys(): self.output_dom[self.y[i]] = 1 # otherwise, we increment the occurrence of this output in the training set by 1 else: self.output_dom[self.y[i]] += 1 # store the row self.data.append([self.X[i], self.y[i]]) def classify(self, entry): solve = None # Final result max_arg = -1 # partial maximum for y in self.output_dom.keys(): prob = self.output_dom[y]/self.N # P(y) for i in range(self.dim): cases = [x for x in self.data if x[0][i] == entry[i] and x[1] == y] # all rows with Xi = xi n = len(cases) prob *= n/self.N # P *= P(Xi = xi) # if we have a greater prob for this output than the partial maximum... if prob > max_arg: max_arg = prob solve = y return solve 

Here, we assume every feature has a discrete domain. That means they take a value from a finite set of possible values.

The same happens with classes. Notice that we store some data in the __init__ method so we don't need to repeat some operations. The classification of a new entry is carried on in the classify method.

This is a simple example of an implementation. In real world applications you don't need (and is better if you don't make) your own implementation. For example, the sklearn library in Python contains several good implementations of NBC's.

Notice how easy it is to implement it!

Now, let's apply our new classifier to solve a problem. We have a dataset with the description of 887 passengers on the Titanic. We also can see whether a given passenger survived the tragedy or not.

So our task is to determine if another passenger that is not included in the training set made it or not.

In this example, I'll be using the pandas library to read and process the data. I don't use any other tool.

The data is stored in a file called titanic.csv, so the first step is to read the data and get an overview of it.

import pandas as pd data = pd.read_csv('titanic.csv') print(data.head()) 

The output is:

Survived Pclass Name \ 0 0 3 Mr. Owen Harris Braund 1 1 1 Mrs. John Bradley (Florence Briggs Thayer) Cum... 2 1 3 Miss. Laina Heikkinen 3 1 1 Mrs. Jacques Heath (Lily May Peel) Futrelle 4 0 3 Mr. William Henry Allen Sex Age Siblings/Spouses Aboard Parents/Children Aboard Fare 0 male 22.0 1 0 7.2500 1 female 38.0 1 0 71.2833 2 female 26.0 0 0 7.9250 3 female 35.0 1 0 53.1000 4 male 35.0 0 0 8.0500 

Notice we have the Name of each passenger. We won't use that feature for our classifier because it is not significant for our problem. We'll also get rid of the Fare feature because it is continuous and our features need to be discrete.

There are Naive Bayes Classifiers that support continuous features. For example, the Gaussian Naive Bayes Classifier.

y = list(map(lambda v: 'yes' if v == 1 else 'no', data['Survived'].values)) # target values as string # We won't use the 'Name' nor the 'Fare' field X = data[['Pclass', 'Sex', 'Age', 'Siblings/Spouses Aboard', 'Parents/Children Aboard']].values # features values 

Then, we need to separate our data set in a training set and a validation set. The later is used to validate how well our algorithm is doing.

print(len(y)) # >> 887 # We'll take 600 examples to train and the rest to the validation process y_train = y[:600] y_val = y[600:] X_train = X[:600] X_val = X[600:] 

We create our NBC with the training set and then classify every entry in the validation set.

We measure the accuracy of our algorithm by dividing the number of entries it correctly classified by the total number of entries in the validation set.

## Creating the Naive Bayes Classifier instance with the training data nbc = NaiveBayesClassifier(X_train, y_train) total_cases = len(y_val) # size of validation set # Well classified examples and bad classified examples good = 0 bad = 0 for i in range(total_cases): predict = nbc.classify(X_val[i]) # print(y_val[i] + ' --------------- ' + predict) if y_val[i] == predict: good += 1 else: bad += 1 print('TOTAL EXAMPLES:', total_cases) print('RIGHT:', good) print('WRONG:', bad) print('ACCURACY:', good/total_cases) 

The output:

TOTAL EXAMPLES: 287 RIGHT: 200 WRONG: 87 ACCURACY: 0.6968641114982579 

It's not great but it's something. We can get about a 10% accuracy improvement if we get rid of other features like Siblings/Spouses Aboard and Parents/Children Aboard.

You can see a notebook with the code and the dataset here

Conclusions

Today, we have neural networks and other complex and expensive ML algorithms all over the place.

NBCs are very simple algorithms that let us achieve good results in some classification problems without needing a lot of resources. They also scale very well, which means we can add a lot more features and the algorithm will still be fast and reliable.

Even in a case where NBCs were not a good fit for the problem we were trying to solve, they might be very useful as a baseline.

We could first try to solve the problem using an NBC with a few lines of code and little effort. Then we could try to achieve better results with more complex and expensive algorithms.

This process can save us a lot of time and gives us an immediate feedback about whether complex algorithms are really worth it for our task.

V tomto článku ste sa dočítali o podmienených pravdepodobnostiach, nezávislosti a Bayesovej vete. Toto sú matematické koncepty, ktoré stoja za klasifikátormi Naive Bayes.

Potom sme videli jednoduchú implementáciu NBC a vyriešili sme problém s určením, či nehodu prežil cestujúci na Titanicu.

Dúfam, že vám bol tento článok užitočný. O témach týkajúcich sa informatiky sa môžete dočítať v mojom osobnom blogu a na Twitteri.