Eulerova metóda vysvetlená na príkladoch

Čo je Eulerova metóda?

Eulerova metóda je numerický postup prvého poriadku na riešenie bežných diferenciálnych rovníc (ODE) s danou počiatočnou hodnotou.

Problém so všeobecnou počiatočnou hodnotou

Metodika

Eulerova metóda používa jednoduchý vzorec,

skonštruovať dotyčnicu v bode xa získať hodnotu y(x+h), ktorej sklon je,

V Eulerovej metóde môžete aproximovať krivku riešenia o tangens v každom intervale (to znamená postupnosť segmentov krátkej čiary) v krokoch po h.

Všeobecne platí , že ak použijete malú veľkosť kroku, presnosť aproximácie sa zvýši.

Všeobecný vzorec

Funkčná hodnota v ktoromkoľvek bode bdanáy(b)

kde,

  • n = počet krokov
  • h = šírka intervalu (veľkosť každého kroku)

Pseudokód

Príklad

Nájsť y(1), dané

Analytickým riešením je riešenie y = ex a y(1)= 2.71828. (Poznámka: Toto analytické riešenie slúži iba na porovnanie presnosti.)

Použitím Eulerova metóda, s ohľadom na h= 0.2, 0.1, 0.01môžete vidieť výsledky na obrázku nižšie.

Kedy h= 0.2, y(1)= 2.48832(chyba = 8,46%)

Kedy h= 0.1, y(1)= 2.59374(chyba = 4,58%)

Kedy h= 0.01, y(1)= 2.70481(chyba = 0,50%)

Môžete si všimnúť, ako sa zlepšuje presnosť, keď sú kroky malé.