Výukový program tabuľky pravdy booleovskej algebry - vysvetlené symboly XOR, NOR a logické symboly

Všetci máme radi počítače. Môžu robiť toľko úžasných vecí. Počítače za pár desaťročí úplne spôsobili revolúciu takmer vo všetkých aspektoch ľudského života.

Môžu robiť úlohy s rôznym stupňom zložitosti, a to všetko iba preklopením núl a jednotiek. Je pozoruhodné vidieť, ako taká jednoduchá akcia môže viesť k toľko zložitosti.

Ale som si istý, že všetci viete, že takúto zložitosť nemožno dosiahnuť (prakticky) iba náhodným preklopením čísel. Je za tým skutočne niekoľko dôvodov. Existujú pravidlá, ktoré upravujú spôsob, akým by sa to malo robiť. V tomto článku sa budeme zaoberať týmito pravidlami a uvidíme, ako určujú spôsob, akým počítače „myslia“.

Čo je Booleova algebra?

Pravidlá, ktoré som spomenul vyššie, popisuje oblasť matematiky s názvom Boolean Algebra.

Britský matematik George Boole vo svojej knihe z roku 1854 navrhol systematický súbor pravidiel pre manipuláciu s hodnotami pravdy. Tieto pravidlá poskytli matematický základ pre riešenie logických výrokov. Tieto súbory základov viedli k rozvoju booleovskej algebry.

Aby sme čo najlepšie porozumeli booleovskej algebre, musíme najskôr pochopiť podobnosti a rozdiely medzi booleovskou algebrou a inými formami algebry.

Algebra sa vo všeobecnosti zaoberá štúdiom matematických symbolov a operáciami, ktoré je možné s týmito symbolmi vykonávať.

Tieto symboly nemajú svoj vlastný význam. Predstavujú nejaké iné množstvo. Práve táto veličina dáva týmto symbolom určitú hodnotu a je to táto veličina, na ktorej sa operácie skutočne vykonávajú.

Booleovská algebra sa tiež zaoberá symbolmi a pravidlami, ktoré upravujú operácie s týmito symbolmi, rozdiel však spočíva v tom, čo tieto symboly predstavujú .

V prípade bežnej algebry symboly predstavujú skutočné čísla, zatiaľ čo v booleovskej algebre predstavujú hodnoty pravdy.

Obrázok nižšie zobrazuje celú skupinu Reálnych čísel. Sada reálnych čísel obsahuje prirodzené čísla (1, 2, 3, 4 ....), celé čísla (všetky prirodzené čísla a 0), celé čísla (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) a tak ďalej. Obyčajná algebra sa zaoberá celou touto množinou čísel.

Hodnoty Pravdy sa na porovnanie skladajú z množiny iba dvoch hodnôt: False a True. Tu by som chcel poukázať na skutočnosť, že na vyjadrenie týchto hodnôt môžeme použiť akýkoľvek iný symbol.

Napríklad v informatike tieto hodnoty väčšinou reprezentujeme pomocou 0 a 1. 0 sa používa pre False a 1 pre True.

Môžete to urobiť aj efektnejším spôsobom, keď budete hodnoty pravdy predstavovať pomocou niektorých ďalších symbolov, ako sú mačky a psy alebo banány a pomaranče.

Jedná sa o to, že vnútorný význam týchto symbolov zostane rovnaký bez ohľadu na použitý symbol. Nezabudnite však, že počas vykonávania operácií nezmeníte symboly.

Otázkou teraz je, že ak (True a False), (0 a 1) sú iba reprezentácie, potom čo sa to snažia reprezentovať?

Podkladový význam za hodnotami pravdy pochádza z oblasti logiky, kde sa hodnoty pravdy používajú na zistenie, či je výrok „pravdivý“ alebo „nepravdivý“. Hodnoty pravdy tu predstavujú vzťah výroku k pravde, to znamená, či je výrok pravdivý alebo nepravdivý.

Propozícia je iba vyjadrením ako „Všetky mačky sú roztomilé“.

Ak je vyššie uvedený výrok pravdivý, potom mu priradíme pravdivostnú hodnotu „True“ alebo „1“, inak mu priradíme „False“ alebo „0“.

V digitálnej elektronike sa pravdivostné hodnoty používajú na vyjadrenie stavu „zapnutý“ a „vypnutý“ elektronických obvodov. O tom si viac povieme ďalej v tomto článku.

Tabuľky boolovských operácií a pravdivosti

Rovnako ako bežná algebra, aj booleovská algebra má operácie, ktoré možno s hodnotami použiť na získanie niektorých výsledkov. Aj keď tieto operácie nie sú podobné operáciám v bežnej algebre, pretože, ako sme už diskutovali, booleovská algebra pracuje skôr na hodnotách pravdy ako na skutočných číslach.

Booleovská algebra má tri základné operácie.

ALEBO : Známy tiež ako Disjunkcia . Táto operácia sa vykonáva s dvoma boolovskými premennými. Výstup operácie OR bude 0, keď sú oba operandy 0, inak bude 1.

Aby sme získali jasnejší obraz o tom, čo táto operácia robí, môžeme si ju vizualizovať pomocou tabuľky Pravdy nižšie.

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

AND : Známe tiež ako spojka . Táto operácia sa vykonáva s dvoma boolovskými premennými. Výstup operácií AND bude 1, keď sú oba operandy 1, inak bude 0. Reprezentácia tabuľky pravdy je nasledovná.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

NIE : Tiež sa nazýva Negácia . Táto operácia sa vykonáva iba s jednou premennou. Ak je hodnota premennej 1, potom ju táto operácia jednoducho prevedie na 0 a ak je hodnota premennej 0, prevedie ju na 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Booleova algebra a digitálne obvody

Po počiatočnom vývoji booleovská algebra veľmi dlho zostávala jedným z tých konceptov v matematike, ktoré nemali významné praktické uplatnenie.

V 30. rokoch 20. storočia si Claude Shannon, americký matematik, uvedomil, že booleovská algebra sa dá použiť v obvodoch, kde binárne premenné môžu predstavovať signály „nízkeho“ a „vysokého“ napätia alebo „zapnuté“ a „vypnuté“ stavy.

Táto jednoduchá myšlienka výroby obvodov pomocou Booleovej algebry viedla k rozvoju digitálnej elektroniky, ktorá významne prispela k vývoju obvodov pre počítače.

Digitálne obvody implementujú booleovskú algebru pomocou logických brán. Logické brány sú obvody, ktoré predstavujú logickú operáciu. Napríklad brána OR bude predstavovať operáciu OR. To isté platí aj pre brány NOT a AND.

Okrem základných logických brán máme aj logické brány, ktoré je možné vytvoriť kombináciou základných logických brán.

NAND: NAND gate is formed by a combination of the NOT and AND gates. NAND gate gives an output of 0 if both inputs are 1, otherwise 1.

NAND gate holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NAND gates only.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR: NOR gate is formed by a combination of NOT and OR gates. NOR gate gives an output of 1 if both inputs are 0, otherwise 0.

NOR gate, just like NAND gate, holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NOR gates only.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Most digital circuits are built using NAND or NOR gates because of their functional completeness property and also because they are easy to fabricate.

Okrem vyššie spomenutých brán máme aj nejaký špeciálny druh brán, ktoré slúžia na nejaký konkrétny účel. Sú to tieto:

XOR : Brána XOR alebo brána Exclusive-OR je špeciálny typ logickej brány, ktorá dáva 0 ako výstup, ak sú obidva vstupy buď 0 alebo 1, inak dáva 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR : Brána XNOR alebo brána Exclusive-NOR je špeciálny typ logickej brány, ktorá dáva 1 ako výstup, keď sú obidva vstupy buď 0 alebo 1, inak dáva 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Záver

Takže so všetkým, čo teraz môžeme uzavrieť našu diskusiu o booleovskej algebre tu. Dúfam, že už máte slušný obraz o tom, o čom je Boolovská algebra.

To rozhodne nie je všetko, čo potrebujete vedieť o booleovskej algebre. Booleovská algebra obsahuje veľa konceptov a podrobností, ktoré sme v tomto článku neboli schopní rozobrať.